30% экзамена. Проценты
Каждый год, без исключений - примерно треть PUPP крутится вокруг них. Скидки, наценки, "сколько процентов составляет", "на сколько процентов изменилось". Звучит одинаково, но это пять разных типов задач. И в каждом - своя ловушка
Я готовлю к PUPP трёх десятиклассников. Проценты мы разбираем на первых занятиях, потому что без них не решается ничего. Моя ученица Настя из 8 класса три урока путала процент от старой цены и процент от новой. На четвёртый - щёлкнуло. Но на экзамене четвёртого шанса не будет
Вот пять типов задач на проценты, которые гарантированно встретятся на PUPP. С условиями, решениями и ловушками
Самый простой. Но именно на нём теряют баллы из-за спешки
Задача. В школе 240 учеников. 35% из них ходят на дополнительные занятия по математике. Сколько учеников ходят?
Решение: 240 × 0.35 = 84 ученика
Быстрый способ: 10% от 240 = 24. Значит 30% = 72, а 5% = 12. Итого 72 + 12 = 84
Ловушка на PUPP: в условии могут спросить "сколько НЕ ходят". Тогда ответ 240 - 84 = 156. Половина ошибок - не дочитал вопрос до конца
Задача посложнее. Влад набрал 32 балла из 50 на пробном PUPP. Какой это процент?
Тут обратная ситуация - число и целое известны, ищем процент. 32 / 50 × 100 = 64%. Можно ещё проще: 50 - это половина от 100, значит умножаем 32 на 2 и получаем 64%
Вот тут начинается путаница
Задача. 15% класса получили десятку за контрольную. Это 6 человек. Сколько учеников в классе?
Логика: 15% = 6 человек. Тогда 1% = 6 / 15 = 0.4 человека. А 100% = 0.4 × 100 = 40 учеников
Или через уравнение: X × 0.15 = 6, значит X = 6 / 0.15 = 40
Ловушка: ученики часто умножают вместо деления. 6 × 0.15 = 0.9 - получают бессмыслицу и не замечают. На PUPP нет времени проверять "а логично ли число 0.9 ученика?" Но стоит себя приучить
Самый жизненный тип. И самый коварный
Задача. Кроссовки в Sportland стоят 120 евро. Скидка 25%. Сколько заплатишь?
Решение: 120 × 0.25 = 30 евро скидки. 120 - 30 = 90 евро
Быстрый способ: 25% = четверть. 120 / 4 = 30. Итого 120 - 30 = 90
А теперь ловушка
Задача. Те же кроссовки за 120 евро. Сначала наценка 20%, потом скидка 20%. Сколько стоят теперь?
Кажется - 120 евро, вернулось на место. Плюс 20, минус 20. Нет
После наценки: 120 × 1.2 = 144 евро. После скидки: 144 × 0.8 = 115.2 евро
Ответ не 120. Ответ 115.2 евро. 20% от 144 - это больше чем 20% от 120. Наценка считалась от одной суммы, скидка - от другой
Хочешь проверить, как у тебя с процентами? На Nuppa есть бесплатная диагностика - 25 вопросов, покажет конкретно какие темы в порядке, а какие нет
Этот тип появляется на PUPP почти каждый год
Задача. Куртка в Akropolis стоит 80 евро. Чёрная пятница: скидка 30%. Плюс карта лояльности - ещё минус 10% от новой цены. Итого?
Неправильный ход мысли: 30% + 10% = 40%. Значит 80 × 0.6 = 48 евро. Это неправильно
Правильно - по шагам. Первая скидка: 80 × 0.7 = 56 евро. Вторая скидка (от 56, не от 80): 56 × 0.9 = 50.4 евро
Разница между 48 и 50.4 - два с половиной евро. Кажется мелочь. Но на экзамене это минус балл. Или даже два, если задача на полное решение и проверяющий видит ошибку в ходе рассуждения
Почему нельзя складывать проценты? Вторая скидка считается от уже уменьшенной цены. 10% от 56 и 10% от 80 - разные числа
Мой ученик Марк из 10 класса три раза подряд попался на эту ловушку в разных задачах. Каждый раз складывал проценты. На четвёртый я просто спросил: "10% от чего?" И он сам увидел
Самый сложный из пяти. На PUPP встречается в заданиях основного и высшего уровня
Задача. В январе в Telegram-канале было 80 подписчиков. В феврале стало 100. На сколько процентов выросло?
Формула: (новое - старое) / старое × 100
(100 - 80) / 80 × 100 = 20 / 80 × 100 = 25%
Не 20%. Двадцать - это разница в числах, но процент считается от начального значения
Задача-ловушка. Цена выросла на 25%, потом упала на 25%. Вернулась к начальной?
Нет. Если начальная цена 100: после роста 125, после падения 125 × 0.75 = 93.75
Ту же задачу можно перевернуть. "Цена упала на 20%. На сколько процентов нужно поднять чтобы вернуть?"
Было 100, стало 80. Нужно обратно до 100. Рост: (100 - 80) / 80 × 100 = 25%. Не 20%
Вот это ломает мозг. Падение на 20% компенсируется ростом на 25%. База изменилась - и процент вместе с ней
Перед решением задай себе два вопроса
Первый: что я ищу - часть, целое или процент? Если часть - умножай. Если целое - дели. Если процент - дели разницу на базу
Второй: процент от чего? Это главный вопрос. В типах 3, 4 и 5 ошибки случаются когда ученик считает процент от неправильного числа. Цена изменилась - база для расчёта тоже
На PUPP эти пять типов дают 12-15 баллов из 50. Четверть экзамена. Научиться решать их - не вопрос таланта. Это вопрос практики. Прорешай по 5-6 задач каждого типа - и на экзамене будешь делать их за минуту
35 дней до PUPP. Проценты - первое что стоит закрыть. Бесплатный тренажёр с задачами по каждому типу: nuppa-math.lovable.app